अनंत श्रेणी {tan ^{ - 1}}left( {frac{2}{{1 - | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम हर को $1 + {r^4} - {r^2} = 1 + {r^2}({r^2} - 1)

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम हर को $1 + {r^4} - {r^2} = 1 + {r^2}({r^2} - 1) = 1 + ({r^2} + r)({r^2} - r)$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{({r^2} + r) - ({r^2} - r)}}{{1 + ({r^2} + r)({r^2} - r)}}} ight)$।सूत्र ${	an ^{ - 1}}x - {	an ^{ - 1}}y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} ight)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_r = {	an ^{ - 1}}({r^2} + r) - {	an ^{ - 1}}({r^2} - r)$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n [ {	an ^{ - 1}}({r^2} + r) - {	an ^{ - 1}}({r^2} - r) ]$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = ( {	an ^{ - 1}}2 - {	an ^{ - 1}}0 ) + ( {	an ^{ - 1}}6 - {	an ^{ - 1}}2 ) + \dots + ( {	an ^{ - 1}}({n^2} + n) - {	an ^{ - 1}}({n^2} - n) )$।$S_n = {	an ^{ - 1}}({n^2} + n) - {	an ^{ - 1}}0 = {	an ^{ - 1}}({n^2} + n)$।जैसे ही $n 	o \infty$,$S_n 	o {	an ^{ - 1}}(\infty) = \frac{\pi}{2}$।

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

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